МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Львівський національний університет імені Івана Франка
Механіко-математичний факультет
Кафедра теорії функцій і функціонального аналізу

Затверджено
На засіданні 
кафедри теорії функцій і функціонального аналізу
механіко-математичного факультету 
Львівського національного університету імені Івана Франка
(протокол № _1_ від _28.08 2023 р.)

Завідувач кафедри  
доктор фізико-математичних наук,
професор Скасків О. Б.
___________________

Силабус з навчальної дисципліни 
“Математичний аналіз”,
що викладається в межах ОПП “Прикладна математика”
першого (бакалаврського) рівня вищої освіти для здобувачів з спеціальності 113 – прикладна математика

Львів 2023 р.

Назва дисципліни	Математичний аналіз	
Адреса викладання дисципліни	Головний корпус ЛНУ ім. І. Франка
м. Львів, вул. Університетська 1	
Факультет та кафедра, за якою закріплена дисципліна	Механіко-математичний факультет
Кафедра теорії функцій і функціонального аналізу	
Галузь знань, шифр та назва спеціальності	11 – математика і статистика
113 – прикладна математика	
Викладачі дисципліни	Трухан Юрій Степанович, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу,
Головата Оксана Маркіянівна, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу
Кудрик Тарас Степанович, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу	
Контактна інформація викладачів	yurkotrukhan@gmail.com, 
Головний корпус ЛНУ ім. І. Франка, каб. 373.
м. Львів, вул. Університетська, 1	
Консультації з питань навчання по дисципліні відбуваються	Консультації в день проведення лекцій/практичних занять (за попередньою домовленістю).	
Сторінка курсу	https://new.mmf.lnu.edu.ua/course/matematychnyy-analiz-113-prykladna-matematyka;	
Інформація про дисципліну	Курс спрямований на оволодіння класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики, механіки та прикладної математики, їх використання в подальших курсах з математики та прикладної математики, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.	
Коротка анотація дисципліни	Дисципліна “Математичний аналіз” є основною дисципліною з спеціальності 113 – прикладна математика для освітньої програми “Прикладна математика”, яка викладається в 2-му семестрі в обсязі 5 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS).	
Мета та цілі дисципліни	Оволодіти класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики, механіки та прикладної математики, їх використання в подальших курсах з математики та прикладної математики, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.	
Література для вивчення дисципліни	1.	Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз, Київ:Знання, 2008
2.	Strang G., Herman E., Calculus, Vol. 1, OpenStax, 2020 
3.	Hartman G., Fitzpatrick S., Jordan A., Vollet C. APEX Calculus, 2023 (https://opentext.uleth.ca/PDF/apex-novideo.pdf)
4.	Заболоцький М.В., Фединяк С.І., Філевич П.В., Червінка К.А. Практикум з математичного аналізу, Львів:Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2009.
5.	Головата Оксана. Електронний навчальний курс "Математичний аналіз II (практикум)" , сторінка курсу https://e-learning.lnu.edu.ua/course/view.php?id=6090	
Обсяг курсу	Загальний обсяг: 160 години. Аудиторних занять: 80 год., з них 32 год. лекційних та 48 годин практичних занять. Самостійної роботи: 80 год.	
Очікувані результати навчання	Після завершення цього курсу студент буде : 
Знати: 
*	поняття первісної та невизначеного інтеграла, таблицю невизначених інтегралів, теореми про інтегрування за допомогою підстановки і частинами, розклад раціональної функції на прості дроби методом невизначених коефіцієнтів, інтегрування простих дробів, інтегрування раціональної функції від sin x і cos x, універсальна тригонометрична підстановка, інтегрування диференціального бінома, підстановки Ейлера, означення верхньої та нижньої суми Дарбу і інтегральної суми, функція інтегровна за Ріманом на відрізку, властивості сум Дарбу, критерій інтегровності, теореми про інтегровність неперервної та монотонної функцій, лінійність і адитивність інтеграла Рімана, теорему про середнє значення, означення інтеграла зі змінною верхньою межею, теореми про неперервність і диференційовність, теорему про існування первісної, формулу Ньютона-Лейбніца, теореми про заміну змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі, означення площі криволінійної трапеції і формула для її обчислення, означення довжини дуги кривої і формули для її обчислення, означення об’єму тіла обертання і формула для його обчислення, означення площі поверхні тіла обертання і формули для його обчислення, означення невластивого інтеграла по нескінченному проміжку, властивості невластивих інтегралів, критерій Коші збіжності невластивих інтегралів, критерій збіжності невластивих інтегралів від невід’ємної функції, абсолютно і умовно збіжні невластиві інтеграли, ознаки Діріхле і Абеля, невластиві інтеграли від необмежених функцій, означення числового ряду, необхідні умови збіжності, геометрична прогресія, гармонійний ряд, узагальнений гармонійний ряд, елементарні властивості числових рядів, критерій Коші збіжності числового ряду, критерій збіжності для числових рядів з невід’ємними членами, перша і друга ознаки порівняння для рядів з невід’ємними членами, ознаки д’Аламбера, Коші і інтегральна збіжності рядів з невід’ємними членами, знакозмінний ряд, означення абсолютної і умовної збіжності ряду, теореми про абсолютно і умовно збіжні ряди, ознака Лейбніца, ознаки Діріхле і Абеля, теореми про групування та перестановку членів ряду, добуток рядів, поняття поточкової та рівномірної збіжності на множині функціональної послідовності, критерій Коші рівномірної збіжності, ознаки Вейєрштраса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності функціональних рядів, теореми про неперервність суми, почленне інтегрування, граничний перехід і почленне диференціювання функціонального ряду, означення степеневого ряду, теорема Коші-Адамара, радіус збіжності і інтервал збіжності, теорему про рівномірну збіжність степеневого ряду, теореми про властивості сум степеневих рядів, ряд Тейлора, скалярний добуток, норма функції, ортонормовані послідовності, коефіцієнти Фур’є і ряд Фур’є функції по ортонормованій послідовності, ряд Фур’є по тригонометричній послідовності функцій, теорему про розвинення функції в ряд Фур’є;
	Вміти:
*	обчислювати невизначені інтеграли, обчислювати інтеграли Рімана, застосовувати інтеграл Рімана до знаходження площ плоских фігур, довжин дуг кривих, об’ємів тіл обертання, площ поверхонь тіл обертання, досліджувати невластиві інтеграли на збіжність, досліджувати на абсолютну та умовну збіжність числові ряди, досліджувати на рівномірну збіжність функціональні послідовності і функціональні ряди, досліджувати властивості сум функціональних рядів, розкладати функції в степеневі ряди та ряди Фур’є та досліджувати їх збіжність.	
	Ключові слова		первісна, інтегрування, інтеграл Рімана, інтегральна сума, невластивий інтеграл, числовий ряд, функціональна послідовність, функціональний ряд, степеневий ряд, ряд Фур’є	
	Формат курсу		Очний, дистанційний.
	Проведення лекцій, практичних занять і консультацій.	
	Теми	*	Первісна та невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
*	 Інтегрування раціональних функцій.
*	 Інтегрування ірраціональних та тригонометричних функцій.
*	 Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегровності за Ріманом.
*	 Інтегральні суми Дарбу. Критерії інтегровності.
*	 Класи інтегровних функцій.
*	Інтеграл із змінною межею. Формула Ньютона-Лейбніца.
*	 Заміна змінних та інтегрування частинами в інтегралі Рімана.
*	 Геометричні застосування інтеграла Рімана.
*	 Поняття невластивого інтегралу. Ознаки збіжності невластивих інтегралів. Критерій Коші збіжності невластивого інтегралу. Абсолютна збіжність невластивих інтегралів.
*	 Поняття числового ряду. Ознаки збіжності числових рядів.
*	 Критерій Коші збіжності числового ряду. Абсолютна збіжність числових рядів.
*	 Функціональні послідовності і ряди. Рівномірна збіжність функціональних послідовностей і рядів.
*	 Ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів.  Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей і рядів.
*	 Степеневі ряди. Ряди Тейлора.
*	 Ряди Фур’є.	
Підсумковий контроль, форма	Комбінований іспит	
Пререквізити	Для вивчення даного курсу студенти потребують базових знань зі шкільного курсу математики достатніх для сприйняття основних ідей та методів математичного аналізу, також потрібні базові знання з математичного аналізу 1 семестру, елементів лінійної алгебри, криві порядку.	
Навчальні методи та техніки, які будуть використовуватися під час викладання курсу	Презентації, лекції, індивідуальні завдання.	
Необхідне обладнання	Аудиторія обладнана дошкою та засобами написання для аудиторних занять.
Комп’ютер / смартфон / планшет з інтернет доступом для дистанційних занять.	
Критерії оцінювання (окремо для кожного виду навчальної діяльності)	Оцінювання проводиться за 100-бальною шкалою. Бали нараховуються за наступним співвідношенням: 
практичні модульні контрольні роботи: 30% семестрової оцінки
 теоретичні колоквіуми : 20% семестрової оцінки
екзамен: 50% семестрової оцінки; максимальна кількість балів 50
Підсумкова максимальна кількість балів 100.
Академічна доброчесність: Очікується, що роботи студентів будуть їх оригінальними дослідженнями чи міркуваннями. Відсутність посилань на використані джерела, фабрикування джерел, списування, втручання в роботу інших студентів становлять, але не обмежують, приклади можливої академічної недоброчесності. Виявлення ознак академічної недоброчесності в письмовій роботі студента є підставою для її незарахуванння викладачем, незалежно від масштабів плагіату чи обману.
Відвідання занять є важливою складовою навчання. Очікується, що всі студенти відвідають усі лекції та практичні зайняття курсу. Студенти повинні інформувати викладача про неможливість відвідати заняття. У будь-якому випадку студенти зобов’язані дотримуватися термінів визначених для виконання всіх видів письмових робіт та індивідуальних завдань, передбачених курсом.
Література. Уся література, яку студенти не зможуть знайти самостійно, буде надана викладачем виключно в освітніх цілях без права її передачі третім особам. Студенти заохочуються до використання також й іншої літератури та джерел, яких немає серед рекомендованих.
Політика виставлення балів. Враховуються бали набрані при поточному тестуванні, самостійній роботі та бали підсумкового тестування. При цьому обов’язково враховуються активність студента під час практичного заняття; недопустимість  запізнень на заняття; користування мобільним телефоном, планшетом чи іншими мобільними пристроями під час заняття в цілях не пов’язаних з навчанням; списування та плагіат; несвоєчасне виконання поставленого завдання і т. ін.
Жодні форми порушення академічної доброчесності не толеруються.	
Питання до заліку чи екзамену.	На екзамени виносяться усі теми курсу (див. пункт Теми).	
Опитування	Протягом навчання студенти можуть висловити свої зауваження і побажання до курсу.	

Схема курсу

Тиж.	Тема, план, короткі тези 	Форма діяльності (заняття) 	Література. Ресурси в інтернеті 	Завдання, год.	Термін виконання 	
1	Тема 1. Первісна та невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень 	
2	Тема 2. Інтегрування раціональних функцій.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
3	Тема 3. Інтегрування ірраціональних та тригонометричних функцій.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
4	Тема 4.  Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегровності за Ріманом.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
5	Тема 5. Інтегральні суми Дарбу. Критерії інтегровності.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
6	Тема 6.  Класи інтегровних функцій.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
7	Тема 7. Інтеграл із змінною межею. Формула Ньютона-Лейбніца.	лек.	[1-3]	2	1 тиждень	
8	Тема 8.  Заміна змінних та інтегрування частинами в інтегралі Рімана.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
9	Тема 9.  Геометричні застосування інтеграла Рімана.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
10	Тема 10.   Поняття невластивого інтегралу. Ознаки збіжності невластивих інтегралів. Критерій Коші збіжності невластивого інтегралу. Абсолютна збіжність невластивих інтегралів.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
11	Тема 11.   Поняття числового ряду. Ознаки збіжності числових рядів.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
12	Тема 12.  Критерій Коші збіжності числового ряду. Абсолютна збіжність числових рядів.

Колоквіум (20 балів)	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
13	Тема 13. Функціональні послідовності і ряди. Рівномірна збіжність функціональних послідовностей і рядів.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
14	Тема 14.  Ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів.  Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей і рядів.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
15	Тема 15.   Степеневі ряди. Ряди Тейлора.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
16	Тема 16.  Ряди Фур’є.	лек.	[1-2]	2	1 тиждень	
1	Тема 1. Безпосереднє інтегрування за таблицею інтегралів	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
2	Тема 2. Основні методи інтегрування	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
3	Тема 3.Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
4	Тема 4. Інтегрування раціональних функцій	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
5	Тема 5. Інтегрування ірраціональних функцій	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
6	Тема 6. Інтегрування тригонометричних  функцій

Контрольна робота (10 балів)	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
7	Тема 7. Визначени інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
8	Тема 8. Обчислення інтегралів. Теорема про середнє.	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
9	Тема 9. Обчислення площ.	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
10	Тема 10. Довжина дуги кривої. Обєм тіла обертання.	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
11	Тема 11. Невластиві інтеграли.	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
12	Контрольна робота (10 балів)

Тема 12. Числові ряди. Ознаки збіжності.	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
13	Тема 13. Ознаки збіжності знакозмінних рядів.	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
14	Тема 14. Функціональні послідовності та ряди.	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
15	Тема 15. Степеневі ряди.	практ.	[4-5]	2	1 тиждень	
16	Тема 16. Ряди Фур’є.

Контрольна робота (10 балів)	практ.	[4-5]	4	1 тиждень	
Разом:	80	–