Author: Юрко

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Львівський національний університет імені Івана Франка
Механіко-математичний факультет
Кафедра теорії функцій і функціонального аналізу

Затверджено
На засіданні 
кафедри теорії функцій і функціонального аналізу
механіко-математичного факультету 
Львівського національного університету імені Івана Франка
(протокол № _1_ від _28.08 2023 р.)

Завідувач кафедри  
доктор фізико-математичних наук,
професор Скасків О. Б.
___________________

Силабус з навчальної дисципліни 
“Математичний аналіз”,
що викладається в межах ОПП “Прикладна математика”
першого (бакалаврського) рівня вищої освіти для здобувачів з спеціальності 113 – прикладна математика

Львів 2023 р.

Назва дисципліни | Математичний аналіз

Адреса викладання дисципліни

Головний корпус ЛНУ ім. І. Франка
м. Львів, вул. Університетська 1

Факультет та кафедра, за якою закріплена дисципліна

Механіко-математичний факультет
Кафедра теорії функцій і функціонального аналізу

Галузь знань, шифр та назва спеціальності

11 – математика і статистика
113 – прикладна математика

Викладачі дисципліни

Трухан Юрій Степанович, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу,
Головата Оксана Маркіянівна, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу
Кудрик Тарас Степанович, доцент кафедри теорії функцій і функціонального аналізу

Контактна інформація викладачів

yurkotrukhan@gmail.com, 
Головний корпус ЛНУ ім. І. Франка, каб. 373.
м. Львів, вул. Університетська, 1

Консультації з питань навчання по дисципліні відбуваються | Консультації в день проведення лекцій/практичних занять (за попередньою домовленістю).
Сторінка курсу | https://new.mmf.lnu.edu.ua/course/matematychnyy-analiz-113-prykladna-matematyka;
Інформація про дисципліну | Курс спрямований на оволодіння класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики, механіки та прикладної математики, їх використання в подальших курсах з математики та прикладної математики, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.
Коротка анотація дисципліни | Дисципліна “Математичний аналіз” є основною дисципліною з спеціальності 113 – прикладна математика для освітньої програми “Прикладна математика”, яка викладається в 1-му семестрі в обсязі 6-ох кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS).
Мета та цілі дисципліни | Оволодіти класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики, механіки та прикладної математики, їх використання в подальших курсах з математики та прикладної математики, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Література для вивчення дисципліни

1.	Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз, Київ:Знання, 2008
2.	Strang G., Herman E., Calculus, Vol. 1, OpenStax, 2020 
3.	Hartman G., Fitzpatrick S., Jordan A., Vollet C. APEX Calculus, 2023 (https://opentext.uleth.ca/PDF/apex-novideo.pdf)
4.	Заболоцький М.В., Фединяк С.І., Філевич П.В., Червінка К.А. Практикум з математичного аналізу, Львів:Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2009.
5.	Головата Оксана. Електронний навчальний курс "Математичний аналіз I (практикум)" , сторінка курсу https://e-learning.lnu.edu.ua/course/view.php?id=5832

Обсяг курсу | Загальний обсяг: 192 години. Аудиторних занять: 96 год., з них 48 год. лекційних та 48 годин практичних занять. Самостійної роботи: 96 год.

Очікувані результати навчання

Після завершення цього курсу студент буде : 
Знати: 
*	основні поняття математичного аналізу, зокрема: множини і дії над ними, загальне поняття відображення або функції, поняття образу та прообразу, поняття сюр’єкції, ін’єкції та бієкції, оберненої функції, суперпозиції функцій, графіка функції, рівнопотужних множин, зліченної множини, незліченної множини, множини потужності континуум, властивості зліченних множин, означення дійсного числа, поняття точної верхньої і точної нижньої межі числової множини, принцип точних меж, теорему принцип вкладених відрізків, означення границі послідовності, теорему про єдиність границі, теорему про обмеженість збіжної послідовності, теорему про три послідовності, теорему про арифметичні операції над збіжними послідовностями, поняття монотонної послідовності і теорему про існування границі монотонної послідовності, число е, підпослідовності, часткові границі послідовності, теорему про існування монотонної підпослідовності, теорему Больцано-Вейєрштрасса, означення верхньої і нижньої границі послідовності, означення фундаментальної послідовності та критерій Коші, означення границі функції в точці за Коші і за Гейне, теорему про рівносильність означень за Коші і Гейне, односторонні границі, теорему про існування границі монотонної функції в точці, критерій Коші існування границі функції в точці, означення порядку однієї функції відносно іншої, означення неперервної функції в точці і на множині, теореми про арифметичні операції над неперервними функціями, про неперервність суперпозиції, про існування і неперервність оберненої функції, теорему Вейєрштрасса та теорему Больцано-Коші про проміжне значення, рівномірної неперервності і теорему Кантора, розриви функції в точці і їх класифікацію, означення похідної, геометричну інтерпретацію похідної, правила обчислення похідних, похідну від складеної та оберненої функції, поняття односторонніх похідних, теореми Ферма, Ролля, Лагранжа і Коші, теореми про монотонність і строгу монотонність на інтервалі, означення диференційовної функції в точці, критерій диференційовності, означення похідних вищих порядків, формулу Лейбніца, означення диференціалів вищих порядків, формулу Тейлора із залишковими членами в формі Пеано і Лагранжа, правила Лопіталя, означення опуклої вниз та вгору на інтервалі функції, критерій опуклості в термінах похідної і похідної другого порядку, точки локального екстремуму функції, необхідні умови локального екстремуму, достатні умови локального екстремуму в термінах похідної і в термінах похідних вищих порядків, означення точок перегину і методи їх знаходження, означення асимптот графіка функції;
	Вміти:
*	виконувати операції над множинами, обчислювати границі послідовностей, обчислювати границі функцій в точці, досліджувати функції на неперервність, обчислювати похідну функції, досліджувати функції за допомогою похідних і будувати їх графіки.

Ключові слова | Функція, послідовність, границя послідовності, границя функції, неперервні функції, точки розриву функції, похідна, диференціал функції, формула Тейлора

Формат курсу

Очний, дистанційний.
	Проведення лекцій, практичних занять і консультацій.

Теми

*	Елементи математичної логіки. Множини. 
*	Відображення (функції). Потужність множин. Зліченні множини.
*	Аксіоми дійсних чисел. Найважливіші класи дійсних чисел. Метод математичної індукції.
*	Принцип точних меж числових множин. Принцип Архімеда та принцип вкладених відрізків. Множини потужності континуум.
*	Поняття границя послідовності. Властивості границі послідовності.
*	Нескінченно малі та великі послідовності. Арифметичні властивості границі послідовності.
*	Монотонні послідовності. Число Ейлера. 
*	Підпослідовності. Фундаментальні послідовності.
*	Поняття границі функції в точці. Властивості границі функції. 
*	Односторонні границі. Критерій Коші існування границі функції.
*	Границя монотонної функції. Важливі границі функцій.
*	Порівняння функцій (о-символіка).
*	Неперервні функції в точці. Властивості неперервних в точці функцій. Класифікація точок розриву.
*	Властивості неперервних на відрізку функцій. 
*	Неперервність елементарних функцій. Рівномірна неперервність.
*	Поняття похідної функції. Геометричний зміст похідної. 
*	Поняття диференційовної функції. Диференціал.
*	Арифметичні властивості похідної. Похідна складеної функції. Похідна оберненої функції.
*	Похідні та диференціали вищих порядків. 
*	Похідні неявно заданих та параметрично заданих функцій. Формула Лейбніца.
*	Основні теореми про диференційовні функції. 
*	Правило Лопіталя. Формула Тейлора.
*	Монотонність і похідна. Опуклість і похідна. Екстремуми функцій однієї змінної. 
*	Асимптоти. Побудова графіків функцій.

Підсумковий контроль, форма | Комбінований іспит
Пререквізити | Для вивчення даного курсу студенти потребують базових знань зі шкільного курсу математики достатніх для сприйняття основних ідей та методів математичного аналізу
Навчальні методи та техніки, які будуть використовуватися під час викладання курсу | Презентації, лекції, індивідуальні завдання.

Необхідне обладнання

Аудиторія обладнана дошкою та засобами написання для аудиторних занять.
Комп’ютер / смартфон / планшет з інтернет доступом для дистанційних занять.

Критерії оцінювання (окремо для кожного виду навчальної діяльності)

Оцінювання проводиться за 100-бальною шкалою. Бали нараховуються за наступним співвідношенням: 
практичні модульні контрольні роботи: 30% семестрової оцінки
 теоретичні колоквіуми : 20% семестрової оцінки
екзамен: 50% семестрової оцінки; максимальна кількість балів 50
Підсумкова максимальна кількість балів 100.
Академічна доброчесність: Очікується, що роботи студентів будуть їх оригінальними дослідженнями чи міркуваннями. Відсутність посилань на використані джерела, фабрикування джерел, списування, втручання в роботу інших студентів становлять, але не обмежують, приклади можливої академічної недоброчесності. Виявлення ознак академічної недоброчесності в письмовій роботі студента є підставою для її незарахуванння викладачем, незалежно від масштабів плагіату чи обману.
Відвідання занять є важливою складовою навчання. Очікується, що всі студенти відвідають усі лекції та практичні зайняття курсу. Студенти повинні інформувати викладача про неможливість відвідати заняття. У будь-якому випадку студенти зобов’язані дотримуватися термінів визначених для виконання всіх видів письмових робіт та індивідуальних завдань, передбачених курсом.
Література. Уся література, яку студенти не зможуть знайти самостійно, буде надана викладачем виключно в освітніх цілях без права її передачі третім особам. Студенти заохочуються до використання також й іншої літератури та джерел, яких немає серед рекомендованих.
Політика виставлення балів. Враховуються бали набрані при поточному тестуванні, самостійній роботі та бали підсумкового тестування. При цьому обов’язково враховуються активність студента під час практичного заняття; недопустимість  запізнень на заняття; користування мобільним телефоном, планшетом чи іншими мобільними пристроями під час заняття в цілях не пов’язаних з навчанням; списування та плагіат; несвоєчасне виконання поставленого завдання і т. ін.
Жодні форми порушення академічної доброчесності не толеруються.

Питання до заліку чи екзамену. | На екзамени виносяться усі теми курсу (див. пункт Теми).
Опитування | Протягом навчання студенти можуть висловити свої зауваження і побажання до курсу.

Схема курсу

Тиж. | Тема, план, короткі тези | Форма діяльності (заняття) | Література. Ресурси в інтернеті | Завдання, год. | Термін виконання
1 | Тема 1. Елементи математичної логіки. Множини. Відображення (функції). Потужність множин. Зліченні множини. | лек. | [1-3] | 4 | 1 тиждень
2 | Тема 2. Аксіоми дійсних чисел. Найважливіші класи дійсних чисел. Метод математичної індукції. | лек. | [1-3] | 2 | 1 тиждень

3

Тема 3. Принцип точних меж числових множин. Принцип Архімеда та принцип вкладених відрізків. Множини потужності континуум.
Поняття границя послідовності. Властивості границі послідовності.

лек.

[1-3]

4

1 тиждень

4 | Тема 4.  Нескінченно малі та великі послідовності. Арифметичні властивості границі послідовності. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

5

Тема 5. Монотонні послідовності. Число Ейлера. 
Підпослідовності. Фундаментальні послідовності.

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

6 | Тема 6. Поняття границі функції в точці. Властивості границі функції. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

7

Тема 7. Односторонні границі. Критерій Коші існування границі функції.
Границя монотонної функції. Важливі границі функцій.

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

8 | Тема 8.  Порівняння функцій (о-символіка). | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

9

Тема 9.  Неперервні функції в точці. Властивості неперервних в точці функцій. Класифікація точок розриву.
Властивості неперервних на відрізку функцій.

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

10 | Тема 10.   Неперервність елементарних функцій. Рівномірна неперервність. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

11

Тема 11.   Поняття похідної функції. Геометричний зміст похідної. 
Поняття диференційовної функції. Диференціал.

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

12 | Тема 12.  Арифметичні властивості похідної. Похідна складеної функції. Похідна оберненої функції. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

13

Тема 13. Похідні та диференціали вищих порядків. 
Похідні неявно заданих та параметрично заданих функцій. Формула Лейбніца.

Колоквіум (20 балів)

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

14 | Тема 14.  Основні теореми про диференційовні функції. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень

15

Тема 15.   Правило Лопіталя. Формула Тейлора.
Монотонність і похідна. Опуклість і похідна. Екстремуми функцій однієї змінної.

лек.

[1-2]

4

1 тиждень

16 | Тема 16.  Асимптоти. Побудова графіків функцій. | лек. | [1-2] | 2 | 1 тиждень
1 | Тема 1. Побудова графіків функцій | практ. | [4-5] | 4 | 1 тиждень
2 | Тема 2. Логічні символи. Операції над множинами. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень
3 | Тема 3. Відображення. Метод математичної індукції. | практ. | [4-5] | 4 | 1 тиждень
4 | Тема 4. Верхня і нижня межа множини. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень

5

Контрольна робота (10 балів)

Тема 5. Границя послідовності.

практ.

[4-5]

4

1 тиждень

6 | Тема 6. Обчислення границь послідовностей. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень
7 | Тема 7. Монотонні послідовності. Критерій Коші. Верхня та нижня границі послідовностей. | практ. | [4-5] | 4 | 1 тиждень
8 | Тема 8. Границя функції в точці. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень
9 | Тема 9. Обчислення границь з використанням чудових границь. | практ. | [4-5] | 4 | 1 тиждень
10 | Тема 10. О-символіка. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень

11

Тема 11. Неперервність функцій.

Контрольна робота (10 балів)

практ.

[4-5]

4

1 тиждень

12 | Тема 12. Похідна. Диференціювання явно заданих функцій. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень
13 | Тема 13. Похідна оберненої, неявно заданої та параметрично заданої функцій. Геометричний зміст. Похідні та диференціали вищих порядків. | практ. | [4-5] | 4 | 1 тиждень
14 | Тема 14. Правило Лопіталя. Формула Тейлора та Маклорена. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень

15

Тема 15. Дослідження функцій.

Контрольна робота (10 балів)

практ.

[4-5]

4

1 тиждень

16 | Тема 16. Задачі на екстремум. | практ. | [4-5] | 2 | 1 тиждень
Разом: | 96 | –