Опис курсу

Метою навчальної дисципліни “Евклідові кільця і матриці над ними” є оволодіння основними поняттями сучасної теорії кілець, вивчення структури евклідових кілець, засвоєння прикладів таких кілець, зокрема акцентування уваги на прикладах евклідових квадратичних кілець та застосування цих понять до питання про існування розв’язків та методи розв’язування систем лілійних рівнянь над евклідовими кільцями.

Завдання дисципліни: поглибити алгебраїчну підготовку студентів, одержану в процесі вивчення базових нормативних курсів “Лінійна алгебра”, “Алгебра і теорія чисел” шляхом введення нових понять і прикладів кілець, зокрема евклідових квадратичних кілець, в яких збережені класичні поняття норми, найбільшого спільного дільника та інші, тобто вивчаються кільця, які узагальнюють арифметику цілих чисел, чим збагачують світогляд математичного мислення студента. А вміння розв’язувати рівняння та системи рівнянь над полями та кільцями складає фундамент математичної підготовки взагалі і зокрема в процесі спеціалізації ”Алгебра і теорія чисел”.

У результаті вивчення навчальної дисципліни “Евклідові кільця і матриці над ними” студент повинен

знати: поняття кільця, підкільця, ідеалу, розрізняти основні типи кілець, розуміти означення евклідового кільця і засвоїти найпростіші приклади евклідових кілець, детально знати приклади евклідових квадратичних дійсних і уявних кілець і метод розв’язування систем лінійних рівнянь над заданими кільцями;

вміти: досліджувати питання про евклідовість кожного кільця, звернувши увагу на евклідовість квадратичних кілець, оскільки вони складатимуть найцікавіші моделі кілець як з точки зору структури розглядуваного кільця, так і з міркувань подальшого застосування в системах лінійних рівнянь, обчислювати норми і сліди елементів евклідового кільця і на їх базі одержувати величини, в термінах яких наводяться умови сумісності і даються формули для розв’язування систем лінійних рівнянь над евклідовими кільцями.